Einkenni Eulers

Númer 1:

Það er til tala sem heitir \(i\) og hefur þann eiginleika að \(i^2 = -1\)

Númer 2:

Það er til tala sem heitir \(\tau = 2\pi\) og er hlutfall milli ummáls hrings og lengd línu frá miðju hans til enda (kölluð geisli, eða radíus).

Númer 3:

Það eru til föll \(\cos x\) og \(\sin x\). Ímyndum okkur hring (svokallaðan einingarhring) sem hefur miðju á hnitunum \((0, 0)\) og geisla \(1\). Nú ef við byrjum á þeim punkti á hringjaðrinum sem er lengst til hægri, þ.e. hnitunum \((1, 0)\), og ferðumst \(\frac{x}{\tau}\) hluta hrings meðfram jaðrinum, þá endum við á hnitunum \((\cos x, \sin x)\).

Númer 5:

Það er til fall \(e^x\) sem vex með hraða \(e^x\) í punkti \(x\).

Númer 6:

Vöxtur falls \(f\) í punktinum \(x\)—táknaður \(\frac{df}{dx}\) eða \(f^{\prime}(x)\)—er breyting á \(f(x)\) miðað við örsmáa breytingu á \(x\).

Númer 7:

Vöxtur \(\sin x\) við punktinn \(x\) er \(\cos x\) og vöxtur \(\cos x\) við sama punkt er \(-\sin x\).

Númer 8:

Sum föll af \(x\) má nálgast með því að meta fallið, við ákveðin punkt \(a\) sem margliðu af gerðinni

$$ f(x) \approx f(a) + f^{\prime}(a)(x - a) + \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + \cdots $$

kölluð Taylor margliða.

Nú ætla ég að sýna fram á svolítið magnað. Í forsendunum hér að ofan minntist ég á þrjá fasta. Þeir eru allir svolítið klikkaðir. Engan þeirra get ég skrifað með venjulegum tölustöfum.

Í fyrsta lagi er það \(\tau = 2\pi \approx 6.283185307179586\)…, með óendanlega marga aukastafi. Í öðru lagi er það \(e = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots \approx 2.718281828459045\)…, líka með óendanlega marga aukastafi, og í þriðja lagi er það \(i\) sem ég get ekki einu sinni reynt að tákna, hún er svo klikkuð. Það eina sem ég get sagt um \(i\) er að \(i^2 = -1\).

Það er því alveg magnað sem ég heyrði um daginn.

$$ e^{i\tau} = 1. $$

Þessar þrjár klikkuðu tölur, margfeldi tveggja settar sem veldisvísir þeirra þriðju, verður að einföldustu tölu sem ég get ímyndað mér. Einn. Ein eining, eitt af einhverju. Mengi alls þess sem er stakt. Einfaldara verður það ekki.

Hvernig stendur á því að þessar þrjár klikkuðu tölur mynda svona einfalda og skýra lausn? Jú, sjáum til, útfrá forsendu 8 hér að ofan getum við nálgað sínus, kósínus, veldismögnunarfallið með Taylor margliðu. Reyndar verður nálgunin nákvæm þegar margliðan inniheldur óendanlega marga liði.

Byrjum á veldismögnunarfallinu \(e^x\) sem vex um \(e^x\) við punktinn \(x\) eins og ég gaf mér í (5). Skoðum Taylor margliðuna í kringum punkinn \(a = 0\).

$$ e^x = e^0 + (e^{\prime})^0(x - 0) + \frac{(e^{\prime\prime})^0}{2!}(x - 0)^2 + \cdots + \frac{(e^{(n)})^0}{n!}(x - 0)^n + \cdots . $$

Við vitum að \((e^{\prime})^0 = e^0 = 1\) svo við getum einfaldað.

$$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots $$

Geymum þetta í bili og skoðum Taylor margliðuna af sínus við punktinn \(a = 0\), það er y-hnit ferðalags um einingarhringinn, sem byrjar í punktinum \((1, 0)\) og endar \(\frac{0}{\tau}\) hluta hrings síðar. Eða í einföldum orðum. Skoðum Taylor margliðuna við \(\sin 0 = 0\).

Ég var búinn að segja í (7) að vöxtur \(\sin x\) við \(x\) er \(\sin^{\prime} x = \cos x\) og vöxtur \(\cos x\) við \(x\) er \(\sin^{\prime\prime} x = \cos^{\prime} x = -\sin x\). Og svo heldur þetta áfram… \(\sin^{(3)} x = \cos^{\prime\prime} x = -\sin^{\prime} x = -\cos x\). Taylor margliðan lítur því út svo…

$$ \begin{align} \sin x &= \sin 0 + (\sin^{\prime} 0) (x - 0) + \frac{\sin^{\prime\prime} 0}{2!}(x - 0)^2 + \cdots + \frac{\sin^{(n)} 0}{n!}(x - 0)^n + \cdots \\ &= \sin 0 + (\cos 0)x - \frac{\sin 0}{2!}x^2 -\frac{\cos 0}{3!}x^3 + \cdots \\ &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \end{align} $$

sem sagt, allir oddatöluliðirnir, plúsaðir og mínusaðir saman til skiptis.

Fyrir kósínus gerist svipað. Nema bara í með slétttölunum í staðin.

$$ \begin{align} \cos x &= \cos 0 + (\cos^{\prime} 0) (x - 0) + \frac{\cos^{\prime \prime} 0}{2!}(x - 0)^2 + \cdots + \frac{\cos^{(n)} 0}{n!} (x - 0)^n + \cdots \\ &= \cos 0 - (\sin 0)x - \frac{\cos 0}{2!}x^2 + \frac{\cos 0}{3!}x^3 - \cdots \\ &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \end{align} $$

sem meikar alveg sens þar sem við erum að skoða \(x\)-hnitin af sama punkti og áðan.

Tökum eftir því hve naumlík hornaföllin (sínus og kósínus) eru veldismögnunar fallinu. Við gætum næstum plúsað þau saman, ef ekki væri fyrir þennan mínus sem kemur á milli annanhvern lið í hornaföllunum. Rifjum því upp fyrstu forsenduna sem ég gaf mér…

Númer 1:

Það er til tala sem heitir \(i\) sem hefur þann eiginleika að \(i^2 = -1\)

og sjáum líka að hækkum við ítrekað veldisvísi \(i\) breytist formerki gildisins með \(2/4\) takti, þ.e. \((+,+,-,-;+,+,-,-)\), en talan skiptir á milli þess að vera \(i\) og \(1\) í \(1/2\) takti, þ.e. \((i,1;i,1)\). Það er eins og þessi undraverða tala hafi verið fædd í þeim tilgangi að passa inn í Taylor margliðuna fyrir Kósínus og Sínus, því ef við byrjum með \(i^0\) og hækkum svo veldisvísin um einn milli þess sem við plúsum og mínusum liði Taylor margliðanna fyrir kósínus og sínus, þá fáum við…

$$ \begin{align} & i^0 + i^1x - i^2\frac{x^2}{2!} - i^3\frac{x^3}{3!} + i^4\frac{x^4}{4!} + i^5\frac{x^5}{5!} - i^6\frac{x^6}{6!} -\cdots \\ =& 1 + ix - (-1)\frac{x^2}{2!} - (-i)\frac{x^3}{3!} + 1\frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} - (-1)\frac{x^6}{6!} - \cdots \\ =& 1 + ix + \frac{x^2}{2!} + i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots \end{align} $$

sem lýtur nákvæmlega út eins og veldismögnunarfallið, og ef við margföldum \(i\) við veldisvísi \(e\), þá fáum við sama fallið, þ.e. við skrifum formúlu Eulers

$$ e^{ix} = \cos x + i\sin x, $$

sem er geðveikt.

Þetta verður betra. Við sáum áðan að kósínus og sínus föllin gefa okkur \(x\) og \(y\) hnit eftir að hafa ferðast \(\frac{x}{\tau}\) hluta hrings meðfram ummáli einingahringsins sem byrjar á \((1, 0)\). Ef það er til einhver geðveik tala sem leyfir okkur að ferðast nákvæmlega einn hring um einingarhringinn, það er við byrjum á \((1, 0)\) og endum á \((1, 0)\), og það birtir upp fyrir okkur.

Númer 2:

Það er til tala sem heitir \(\tau = 2\pi\) og er hlutfall milli ummáls hrings og geisla (það er lengd línu frá miðju hrings út á enda).

Setjum \(x = \tau\) og sjáum að ef við ferðumst \(\frac{\tau}{\tau} = 1\) semsagt heilan hring frá þessum töfra-punkti, þá endum við aftur á sama staðnum. Við erum jú búinn að ferðast heilan hring samkvæmt skilgreiningu. Svo að sínus af núll hlítur að vera jafn mikið og sínus af \(\tau\) og kósínus af núll hlítur að vera jafn mikið og kósínus af \(\tau\), því við erum að skoða \(x\) og \(y\) hnit sama punktsins, þ.e. með táknum \(\cos 0 = \cos \tau = 1\) og \(\sin 0 = \sin \tau = 0\).

Sett inn í formúlu Eulers verður þetta

$$ \begin{align} e^{i\tau} &= \cos \tau + i\sin \tau \\ &= 1 + 0 \\ &= 1. \end{align} $$

Ég verð að endurtaka þessa tæru snilld, sem kölluð er einkenni Eulers.

$$ e^{i\tau} = 1. $$